Занятие 1. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. НОД. НОК.
Делителем натурального числа а называется натуральное число, на которое а делится без остатка.
Кратным натуральному числу а называется натуральное число, которое делится без остатка на а.
Число 15 делится на 1, на 3, на 5, на 15. Эти числа называются делителями числа 15, а число 15 называется кратным чисел 1, 3, 5, 15.
Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.
Числа, которые делятся на 2, называются чётными. Число 0 также принадлежит к чётным числам. Остальные числа называются нечётными.
Признак
Пример
На 2 делятся те и только те натуральные числа, которые оканчиваются чётной цифрой.
84 : 2 = 42;
3984 : 2 = 1992.
На 5 делятся те и только те натуральные числа, которые заканчиваются нулём или цифрой 5.
5 : 5 = 1;
250 : 5 = 50;
365 : 5 = 73.
На 10 делятся те и только те натуральные числа, которые оканчиваются цифрой 0.
4000 : 10 = 400;
29100 : 10 = 2910.
Признак
Пример
На 9 делятся те и только те натуральные числа, у которых сумма цифр делится на 9.
Число 76455 делится на 9, так как сумма его цифр: 7 + 6 + 4 + 5 + 5 = 27 – делится на 9.
Число 5796 делится и на 3 и на 9:
5 + 7 + 9 + 6 = 27.
27 делится на 3 и на 9.
На 3 делятся те и только те натуральные числа, у которых сумма цифр делится на 3.
Число 75432 делится на 3, так как сумма его цифр: 7 + 5 + 4 + 3 + 2 = 21 – делится на 3.
Признак
Пример
1. Признак делимости на 4.
Натуральное число делится на 4, если две его последние цифры образуют число, делящееся на 4, или последние цифры – нули.
а) 2132 : 4, т. к. последние две цифры образуют число 32, которое делится на 4.
б) 448 : 4 (48 : 4 = 12);
в) 1100 : 4, т. к. две последние цифры – нули.
2. Признак делимости на 25.
Натуральное число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо 25, либо 50, либо 75, либо нули.
125 : 25 = 5;
2450 : 25 = 98;
72175 : 25 = 2887;
4200 : 25 = 168.
3. Признак делимости на 8.
Натуральное число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, делящееся на 8.
5064 : 8 (64 : 8 = 8);
15160 : 8 (160 : 8 = 20).
4. Признак делимости на 11.
Натуральное число делится на 11, если суммы цифр на чётных и нечётных местах дают в разности число, делящееся на 11.
а) 10824 : 11, т. к. б) 9493 : 11
1 + 8 + 4 = 13 9 + 9 = 18
0 + 2 = 2 4 + 3 = 7
13 – 2 = 11 18 – 7 = 11
11 : 11. 11 : 11.
Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число.
Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.
Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам.
Наибольшим общим делителем двух натуральных чисел называется самое большое натуральное число, на которое делится каждое из данных чисел.
📷 Найдём НОД (360; 840):
📷 360 2 840 2
180 2 420 2
90 2 210 2
45 3 105 3
15 3 35 5
5 5 7 7
1 1
НОД (360; 840) = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120
Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, нужно:
1) разложить данные числа на простые множители;
2) найти (подчеркнуть) все общие простые множители в полученных разложениях;
3) найти произведение общих простых множителей.
По этому же правилу можно найти наибольший общий делитель для трёх и более чисел.
Если данные числа не имеют общих простых множителей, то наибольшим общим делителем этих чисел будет число 1. Натуральные числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называют взаимно простыми числами.
Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.
Найдём НОК (12, 16).
12 = 2 × 2 × 3.
16 = 2 × 2 × 2 × 2.
НОК (12, 36) = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48
НОК (12, 36) = 48.
Найдём НОК (50, 180).
📷📷 50 2 180 2
25 5 90 2
5 5 45 3
1 15 3
5 5
1
НОК (50, 180) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 = 900;
НОК (50, 180) = 900.
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.
Практическая часть.
1. Найдите все числа, кратные 17, которые являются решениями неравенства 33 < x < 102.
2. Найдите два составных числа х, которые удовлетворяют неравенству 65 < x < 72.
3. Какие цифры можно подставить в запись 38577* вместо звёздочки, чтобы полученное число делилось: на 2, на 3?
4. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы число делилось без остатка на 3
и на 5:
а) 241*; б) 43*5; в) 1734*.
5. Найдите НОД чисел:
а) 11, 22, 55; б) 500 и 400; в) 22, 88, 60.
6. Найдите НОК чисел:
а) 48 и 60; б) 396 и 180; в) 168, 231, 60.
7. Запишите два простых числа х, которые удовлетворяют неравенству 40 < x < 45.
8. Докажите, что 8 и 21 взаимно простые числа.
9. Докажите, что 481 и 555 не взаимно простые.
10. Из чисел 123; 400; 492; 495; 624; 935; 984; 1067; 1617 выпишите те числа, которые делятся:
а) на 4; б) на 25; в) на 8; г) на 11.
11. Какое наибольшее число одинаковых комплектов можно составить из ёлочных игрушек, если имеется: 8 снежинок, 24 колокольчика, 16 шишек, 48 шариков? По сколько каждых игрушек будет в каждом комплекте?
12. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет и 200 пряников? Сколько конфет, орехов, пряников будет в каждом пакете?
13. В классе 36 учеников: 16 девочек и 20 мальчиков. Сколько существует возможностей создать группы для дежурства так, чтобы во всех группах было по одинаковому числу девочек и по одинаковому числу мальчиков? Какое может быть наибольшее число таких групп?
14. В порту начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 суток, третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание?
15. Ребята на ёлке получили одинаковые подарки. Во всех подарках было 128 апельсинов и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на ёлке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом из подарков?
16. Шаг Серёжи 75 см, шаг Тани 60 см. На каком наименьшем расстоянии они оба сделают по целому числу шагов? Сколько каждый сделает шагов?
17*. На базар привезли арбузы. Если их считать десятками, то получим целое число десятков. Если их считать дюжинами (по 12), то опять получим целое число дюжин. Сколько арбузов привезли на базар, если их больше 100, но меньше 200?
18*. Экскурсантов можно посадить в лодки по 8 или по 12 человек. И в первом и во втором случае свободных мест не останется. Сколько было экскурсантов, если их было больше 50, но меньше 90?
19*. На плодоовощную базу привезли три контейнера с яблоками. В первом контейнере было 360 кг яблок, во втором – 432 кг, а в третьем – 792 кг. Сколько ящиков с яблоками было в каждом контейнере, если в каждом ящике одинаковое число кг яблок и это число не больше 50?
20*. На станции стоят три пассажирских поезда: в первом – 418 мест в купейных вагонах, во втором – 494, а в третьем – 456. Сколько купейных вагонов в каждом поезде, если в каждом вагоне одинаковое число мест и их число больше 20?
Терпения всем,готовьтесь.